Теория:
Решим такую задачу.
Пример:
два маршрутных такси отвозят пассажиров из аэропорта в ближайшие населённые пункты. Одно маршрутное такси возвращается в аэропорт через \(25\) минут, другое — через \(35\) минут. После возвращения в аэропорт они сразу же снова уезжают. Если сейчас маршрутные такси отправятся одновременно в рейс, то через сколько часов они вновь вместе окажутся в аэропорту?
Решая задачу, приходим к выводу, что число часов, через которое они вновь вместе уйдут в рейс, должно делиться без остатка на \(25\) и на \(35\), т. е. должно быть кратным этим числам.
Выпишем числа, кратные \(25\). Получим: \(25\); \(50\); \(75\); \(100\); \(125\); \(150\); \(175\); \(200\); \(225\); \(250\); \(275\); \(300\); \(325\); \(350\); \(375\)...
Выпишем числа, кратные \(35\). Получим: \(35\); \(70\); \(105\); \(140\); \(175\); \(210\); \(245\); \(280\); \(315\); \(350\); \(385\)...
Общими кратными чисел \(25\) и \(35\) будут числа: \(175\); \(350\)...
Наименьшим из них является число \(175\), т. е. впервые маршрутные такси вновь вместе уйдут в рейс только через \(175\) минут.
Число \(175\) называют наименьшим общим кратным чисел \(25\) и \(35\).
Наименьшим общим кратным натуральных чисел \(m\) и \(n\) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и \(m\), и \(n\).
Наименьшее общее кратное обозначаем \(НОК(m; n)\).
\(НОК(25; 35) = 175\).
Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Выполняя эти действия, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.
Правило нахождения \(НОК\) нескольких чисел:
1. разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
Пример:
имеем,
В этих разложениях встречаются числа \(5\), \(7\).
С наибольшими показателями — это числа .
Поэтому .
Для любых натуральных чисел \(a\) и \(b\) справедливо равенство:
.
Пример:
покажем это свойство на конкретном примере: