Определение числовой последовательности

Функцию

y = f (x)

x \in ℕ

, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают $y=f(n)$, или

y_{1}, y_{2}, y_{3} ... y_{n}

...

Значения

y_{1}, y_{2}, y_{3} ... y_{n}

— члены последовательности: первый, второй, третий (и т. д.).

В записи

y_{n}

число $n$ — индекс, задающий порядковый номер члена последовательности. Альтернативным вариантом обозначения последовательности является запись

(y_{n})

Мы знакомы с различными способами задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный. Для задания последовательностей чаще всего используют аналитический, словесный и рекуррентный способы.

1. Аналитический способ.

Задаётся формула $n$-го члена $y_{n} = f (n)$ последовательности.

Пример:

1. $y_{n} = n^{3}$ .

Так последовательность $1, 8, 27, 64...$ $n^{3}$ $...$ задана аналитически.

Пример:

2. $y_{n} = B$ . Показан пример последовательности $B, B, B... B...$, которую называют стационарной.

2. Словесный способ.

Пример:

последовательность простых чисел: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...$

Последовательность задана словесно.

Данный способ задания последовательности не всегда эффективен, но бывает невозможно задать последовательность аналитически.

3. Рекуррентный способ.
Название способа произошло от латинского слова recurrere — возвращаться. При рекурентном задании последовательности даётся формула или правило для вычисления $n$-ого члена последовательности через предыдущий $(n-1)$-ый член.

Так, второй член последовательности мы можем рассчитать по первому, третий — по второму и т. д..

Иногда даётся формула, позволяющая выразить $n$-й член последовательности через два или три предыдущие, и задают первые два-три члена последовательности.

Пример:

y_{1} = 2; y_{n} = y_{n - 1} + 3

, если

n = 2, 3, 4 ...

Имеем

\begin{array}{l} y_{1} = 2; \\ y_{2} = y_{1} + 3 = 2 + 3 = 5; \\ y_{3} = y_{2} + 3 = 5 + 3 = 8; \\ y_{4} = y_{3} + 3 = 8 + 3 = 11 и т . д . \end{array}

Получили последовательность $2, 5, 8, 11...$

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Последовательность $(y_{n})$ называют возрастающей, если каждый её член (за исключением первого) больше предыдущего.

Последовательность $(y_{n})$ называют убывающей, если каждый её член (за исключением первого) меньше предыдущего.

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Определение числовой последовательности

Теория: