1. Теорема Виета

Теория:

С помощью этой теоремы решаются квадратные уравнения.
Обычно теорема Виета используется для решения приведённых квадратных уравнений, т. е. если коэффициент \(a = 1\).
x2+px+q=0,тогдаx1⋅x2=qx1+x2=−p
 
Пример:
реши уравнение:
x2−14x+40=0,x1⋅x2=40x1+x2=14x1=10,x2=4.
 
Для полного квадратного уравнения, в котором \(a\) ≠ \(1\),  тоже применима теорема Виета.
 
ax2+bx+c=0|:aaax2+bax+ca=0⇒x2+bax+ca=0;x1⋅x2=cax1+x2=−ba, гдеx1иx2− корни.
 
Пример:
найди корни уравнения с помощью теоремы Виета.
 
12x2+x−1=0;1212x2+112x−112=0⇒x2+112x−112=0;x1⋅x2=−112x1+x2=−112x1=−13;x2=14. 
 
Если с помощью теоремы Виета трудно найти корни, то их можно найти другими способами, а с помощью теоремы Виета проверить, правильно ли они найдены.
 
2x2+0,8x−0,1=0;D=b2−4ac=0,82−4⋅2⋅−0,1=1,44;x1=−b+D2a=−0,8+1,22⋅2=0,1;x2=−b−D2a=−0,8−1,22⋅2=−0,5
Проверка:
2x2+0,8x−0,1=0|:2x2+0,4x−0,05=0;0,1⋅−0,5=−0,050,1−0,5=−0,4
 
Если полная проверка корней затруднительна, нужно проверить хотя бы правильность знаков корней. В данном примере видно, что у корней должны быть разные знаки, т. к. \(c<0\).
 
С помощью теоремы Виета можно составить квадратное уравнение, если известны его корни.
 
Пример:
какому квадратному уравнению принадлежат корни \(2\) и \(-0,3\)?
 
x2+px+q=0;2+(−0,3)=1,7=−p, поэтомуp=−1,7;2⋅(−0,3)=−0,6=q;x2−1,7x−0,6=0.
 
* Франсуа Виет (\(1540\)–\(1603\)) — французский математик. По образованию юрист.
Вернуться в тему
Следующая теория
Copyright © 2024 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных