4. Операции с целыми числами. Умножение, деление, сравнение

Умножение и деление можно свести к операциям сложения и сложения с дополнительным кодом числа.

Пример \(4\)

Выполни умножение \(A\) и \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

Пусть \(A = 23\), \(B = 5\).

 

1. Получим прямой код чисел \(A\) и \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

2. ${[K_A]}_{\mathit{ПК}}= {00010111}_2$; ${[K_B]}_{\mathit{ПК}} = {00000101}_2$.

 

3. Выполним поразрядное умножение.

 

 

4. Проанализируем полученный результат. Переполнения в старшем разряде восьмиразрядной сетки не произошло. Результат верен. Вычисления в десятичной системе счисления его подтверждают. Кроме того, видно, что умножение сводится к сложению и сдвигу содержимого первого сомножителя на один разряд, если во втором сомножителе в разряде \(1\), и к пропуску разряда, если во втором сомножителе \(0\).

 

Ответ: ${[K_{A\times B}]}_{\mathit{ПК}}={01110011}_2={73}_{16}={115}_{10}.$

 

Умножение отрицательных чисел выполняется по тем же правилам с учётом того, что отрицательные числа хранятся в дополнительном коде.

Пример \(5\)

Выполни умножение \(A\) и \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

Пусть \(A = -19\), \(B = 6\).

 

1. Получим прямой код числа \(B\) в восьмиразрядной сетке:

 

${[K_B]}_{\mathit{ПК}} = {00000110}_2$.

 

2. Получим дополнительный код числа \(A\) в восьмиразрядной сетке:

 

3. Выполним поразрядное умножение.

 

4. Проанализируем полученный результат. Единица в старшем разряде восьмиразрядной сетки обозначает, что получен дополнительный код отрицательного числа. Это верно. Отнимем от полученного результата единицу и инвертируем его:

${10001110}_2 – 1 = {10001101}_2$; ${[K_{A\times B}]}_{\mathit{ПК}}={01110010}_2={114}_{10}.$

 

5. Вычисления в десятичной системе счисления подтверждают полученный результат.

 

Ответ: ${[K_{A\times B}]}_{\mathit{ПК}}={01110010}_2={114}_{10}.$

 

Для объяснения операции деления подберём числа так, чтобы результат получался целым числом. А о вещественных числах мы поговорим в другом разделе.
 

Пример \(6\)

Выполни деление \(A\) на \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

Пусть \(A = 45\), \(B = 9\).

 

1. Получим прямой код числа \(A\) в восьмиразрядной сетке:

 

${[K_A]}_{\mathit{ПК}} = {00101101}_2$.

 

2. Получим дополнительный код числа \(B\) в восьмиразрядной сетке:

 

3. Выполним последовательное сложение:

 

 

4. Проанализируем полученный результат. Деление свелось к сложению делимого и дополнительного кода делителя. Частное равно количеству операций сложения до достижения нулевого результата. Вычисления в десятичной системе счисления подтверждают полученный результат.

 

Ответ: ${[K_{A/B}]}_{\mathit{ПК}} = {00000101}_2$.

 

Практически операция умножения реализуется как алгоритм известного «русского» метода умножения, также основанного на операциях сдвига и определения чётности результата (двоичное число, оканчивающееся на \(1\), — нечётное, оканчивающееся на \(0\) — чётное).

Например, перемножим \(45\) и \(33\):

 

 

Результат равен сумме чисел первого столбца, которые умножаются на нечётные числа второго столбца: \(45 + 1440 = 1485\).

Операции сравнения для чисел со знаком и без знака выполняются по-разному. Для примера возьмём три машинных кода чисел \(A\), \(B\), \(C\).
 

Пример \(7\)

  

Пусть $[K_A]\; = \mathit{C834};\; [K_B]\; = 0045;\; [K_C]\; = 14\mathit{A6}.$

 

Расставь числа, коды которых приведены в задании, в порядке возрастания. Запиши числа друг за другом без пробелов и разделительных знаков.

 

1. Определим знак чисел \(A\), \(B\), \(C\).

$[K_A]\; = \mathit{C834} = {1100100000110100}_2<0$ (в знаковом разряде — \(1\));

 

$[K_B]\; = 0045 = {0000000001000101}_2>0$ (в знаковом разряде — \(0\));

 

$[K_C]\; = 14\mathit{A6} = {0001010010100110}_2>0$ (в знаковом разряде — \(0\)).

 

2. Так как \(A\) — число отрицательное, а \(C\) и \(B\) — положительные, сделаем первый вывод, что \(A\) — наименьшее.

 

3. Сравним положительные числа \(C\) и \(B\) — единица в более старшем разряде в числе \(C\) гарантирует, что это число больше.

Следовательно, \(A < B < C\).

 

Ответ: \(ABC\).
 

Пример \(8\)

Пусть $[K_A]\; = 0123;\; [K_B]\; = \mathit{BC00};\; [K_C]\; = 8765.$

 

Расставь числа, коды которых приведены в задании, в порядке возрастания. Запиши числа друг за другом без пробелов и разделительных знаков.

 

1. Определим знак чисел \(A\), \(B\), \(C\).

$[K_A]\; = 0123 = 00000001001000112>0$ (в знаковом разряде — \(0\));

$[K_B]\; = \mathit{BC00} = 10111100000000002<0$ (в знаковом разряде — \(1\));

$[K_C]\; = 14\mathit{A6} = 10000111011001012<0$ (в знаковом разряде — \(1\)).

 

2. Так как \(A\) — число положительное, а \(C\) и \(B\) — отрицательные, сделаем первый вывод, что \(A\) — наибольшее.

 

3. Сравним отрицательные числа \(C\) и \(B\). Оба числа хранятся в дополнительном коде. Можно воспользоваться ранее разобранным алгоритмом перехода от дополнительного кода к прямому: отнять \(1\), инвертировать число (см. Примечание). А можно применить другой подход, основанный на том, что дополнительный код — дополнение до переполненной разрядной сетки. То есть для получения модуля этих чисел достаточно вычесть их значение из переполненной разрядной сетки. Для \(16\)-разрядной сетки это число — \(1 0000 0000 0000 0000\), или в шестнадцатеричном коде — \(10000\). Проведём вычитание.

 

 

Так как число \(C\) по абсолютной величине больше, то с отрицательным знаком оно будет меньше (сравни: \(5 > 3\), но \(-5 < -3\)).

 

Отсюда \(C < B < A\).

 

Ответ: \(CBA\).

Примечание: $[K_B]\; ={\mathit{BC00}}_{\mathit{16}}={1011110000000000}_2.$

 

 

Практически операции сравнения реализуются с помощью вычитания. Равенство — сравнение разности каждого из чисел с машинным нулём. Неравенство — анализ значения самого левого бита разности.

Применительно к устройствам компьютера рассматриваемые нами арифметические операции реализуются с помощью основных логических операций: И, ИЛИ, НЕ. Применение этих операций к двоичному представлению кодов чисел называется сбросом и установкой. А константа, с помощью которой применяется логическая операция к многоразрядным числам, называется маской.

 

Так, например, с помощью операции И можно выполнить операцию сброса указанных битов.

 

 

В этом примере сброшены все биты, кроме старшего.

 

С помощью операции ИЛИ можно выполнить поразрядное сложение битов числа.

 

 

Здесь, кроме примера а), везде выполнена операция установки.

Обрати внимание, что перенос в следующий разряд в случае поразрядного сложения невозможен.

Рассмотрим ещё одну логическую операцию, участвующую в формировании числовых кодов чисел. Операция исключающее ИЛИ, другое обозначение — XOR, а также ещё одно обозначение — $\oplus$.

Таблица истинности этой логической функции.

 

 

С помощью этой операции можно выполнить инверсию единичных битов. Часто операцию используют для обнуления переменной или для шифрования данных.

Правильно подобранная маска позволяет сбрасывать и устанавливать, то есть преобразовывать любые биты исходного числа.

 

Пример \(9\)

  

Обрати внимание: при единичной маске мы получили обратный код исходного числа. Примени эту маску ещё раз.

 

 

Получили исходное число.