2. Целые числа в памяти компьютера

Все операции над числами в памяти компьютера выполняются не над самими числами, а над их машинными кодами.

Рассмотрим получение машинного кода целого положительного числа.
Предположим, что мы имеем дело с шестнадцатиразрядной сеткой. Вычислим диапазон целых чисел, которые можно представить. $A_{\mathit{min}}=0$ для целого положительного числа, а $A_{\mathit{max}}$ вычислим по формуле:

 

Пример \(1\)

Запиши машинный код целого положительного числа \(547\) в шестнадцатиразрядной сетке.

 

1. Переведём число в двоичную систему счисления:

 

${547}_{10} = {1000100011}_2$.

 

2. Дополним недостающие разряды незначащими нулями для заполнения сетки:

$A = {0000001000100011}_2$.

 

3. Машинный код числа принято представлять в шестнадцатеричной системе счисления, так людям его удобнее воспринимать: $K_A =0223$.

 

Ответ: $K_A =0223$.

 

Такой код принято называть прямым кодом числа и обозначать ${[K_A]}_{\mathit{ПК}}$.

 

Рассмотрим получение машинного кода целого отрицательного числа. 
Предположим, что мы имеем дело с шестнадцатиразрядной сеткой. Один из разрядов сетки, а именно самый старший разряд, будет отведён под хранение знака. Таким образом, для хранения самого числа у нас остаётся \(15\) разрядов. Вычислим диапазон целых чисел, которые можно представить. $A_{\mathit{min}}={-2}^{15}=-32768$ для целого положительного числа, а $A_{\mathit{max}}$ вычислим по формуле:

Обрати внимание: если мы сложим $A_{\mathit{min}}$ и $A_{\mathit{max}}$, то получим \(65535\). То есть диапазон представляемых чисел не изменился.

 

Целые отрицательные числа хранятся в памяти в виде машинного кода дополнения к модулю исходного числа. Делается это для того, чтобы заменить операцию вычитания операцией сложения.

Для получения дополнительного кода используется следующий алгоритм:

1. получить двоичное представление модуля отрицательного числа.
2. Инвертировать все разряды полученного двоичного числа.
3. Прибавить к инвертированному числу \(1\).

 

Пример \(2\)

Получи дополнительный код числа \(B = -125\) в восьмиразрядной сетке.

 

1. Получим двоичное представление модуля отрицательного числа:

${[K_B]}_{\mathit{ПК}}={01111101}_2$.

 

2. Инвертируем все разряды полученного двоичного числа (\(0\) заменим \(1\), а \(1\) — \(0\)).

 

3. ${[K_B]}_{\mathit{ОК}}={10000010}_2$ — это представление числа называется обратным кодом числа.

 

4. Прибавим к инвертированному числу \(1\).

 ${[K_B]}_{\mathit{ДК}}={10000011}_2$ — это и есть дополнительный код числа \(B\).

Ответ: ${[K_B]}_{\mathit{ДК}}={10000011}_2={83}_{16}.$

 

Пример \(3\)

Докажи верность высказывания: дополнительный код отрицательного числа — это дополнение модуля этого числа до \(2k\), где \(k\) равно количеству разрядов, или до \(0\) в \(k\)-разрядной арифметике.

 

Для доказательства воспользуемся числами, представленными в восьмиразрядной сетке.

 

1. Получим дополнительный код числа \(C = -56\).

 

Получим двоичное представление модуля отрицательного числа:

${[K_C]}_{\mathit{ПК}}={00111000}_2$.

 

2. Инвертируем все разряды полученного двоичного числа (\(0\) заменим \(1\), а \(1\) — \(0\)).

 

3. ${[K_C]}_{\mathit{ОК}}={11000111}_2$ — это представление числа называется обратным кодом числа.

 

4. Прибавим к инвертированному числу \(1\).

${[K_C]}_{\mathit{ДК}}={11001000}_2$ — это дополнительный код числа \(C\).

 

5. Сложим прямой и дополнительный коды числа \(C\).

 

 

Если пользоваться восьмиразрядной сеткой, мы получили значение, равное \(0\); единица, вышедшая за разрядную сетку, называется «переполнением». Переведя полученное число в десятичную систему счисления, мы убедимся, что получили $2^8$. Что и требовалось доказать.

 

Пример \(4\)

Получи дополнительный код числа \(B = -125\) в восьмиразрядной сетке.

 

1. Получим дополнение заданного числа до полной разрядной сетки:

$128-125=3$.

 

2. Запишем полученное число в восьмиразрядной сетке, указав в старшем бите его знак:

${[K_B]}_{\mathit{ДК}}={10000011}_2$.

 

Ответ: ${[K_B]}_{\mathit{ДК}}={10000011}_2$.

 

Пример \(5\)

Запиши машинный код целого отрицательного числа \(547\) в шестнадцатиразрядной сетке.

 

1. Переведём число в двоичную систему счисления:

 

${547}_{10} = {1000100011}_2$.

 

2. Дополним недостающие разряды незначащими нулями для заполнения сетки:

${[K_A]}_{\mathit{ПК}}={0000001000100011}_2$.

 

3. Инвертируем все разряды полученного двоичного числа (\(0\) заменим \(1\), а \(1\) — \(0\)):

${[K_A]}_{\mathit{ОК}}={1111110111011100}_2$.

 

4. Прибавим к инвертированному числу \(1\).

${[K_A]}_{\mathit{ДК}}={1111110111011101}_2$ — это дополнительный код числа \(A\).

 

5. Машинный код числа принято представлять в шестнадцатеричной системе счисления, так людям удобнее его воспринимать: ${[K_A]}_{\mathit{ДК}}=\mathit{FDDD}$.

 

Ответ: ${[K_A]}_{\mathit{ДК}}=\mathit{FDDD}$.