Теория:
В системе координат построим полуокружность радиуса \(1\) с центром в начале координат.
![Vienibas_pusr.png](http://8b08ab88-ee1b-4b04-9ae9-321e0da71ae2.selcdn.net/0e4299fb-28ae-4a30-8eac-27acc76e5385/Vienibas_pusr.png)
Как уже известно, в прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус острого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
В треугольнике \(AOX\):
.
Так как радиус полуокружности \(R = AO = 1\), то .
Длина отрезка \(AX\) равна величине координаты \(y\) точки \(A\), а длина отрезка \(OX\) равна величине координаты \(x\) точки \(A\):
.
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, а значит,
.
Используя единичную полуокружность и рассмотренную информацию, определим синус, косинус и тангенс для .
Рассмотрим оба острых угла в треугольнике \(AOX\). Если вместе они образуют , то оба выразим через .
![Vienibas_pusr2.png](http://8b08ab88-ee1b-4b04-9ae9-321e0da71ae2.selcdn.net/6c0976a7-e83a-4802-bfff-3dae2e51ca1e/Vienibas_pusr2.png)
Если , то .
Видим, что справедливы равенства:
Рассмотрим тупой угол, который также выразим через .
![Vienibas_pusr1.png](//8b08ab88-ee1b-4b04-9ae9-321e0da71ae2.selcdn.net/5801ddd0-5aa0-4b0e-bda6-1290ccc1b4d5/Vienibas_pusr1.png)
![Vienibas_pusr1.png](http://8b08ab88-ee1b-4b04-9ae9-321e0da71ae2.selcdn.net/5801ddd0-5aa0-4b0e-bda6-1290ccc1b4d5/Vienibas_pusr1.png)
Справедливы следующие равенства:
Эти формулы называются формулами приведения:
Если в треугольнике \(AOX\) применить теорему Пифагора, получаем . Заменив отрезки соответственно синусом и косинусом, мы напишем
Главное тригонометрическое тождество
.
Это тождество позволяет вычислить величину синуса угла, если дан косинус
(как уже отмечено, синус для углов только 0 или положительный):
— или величину косинуса угла, если дан синус:
Для острых углов косинус положительный, а для тупых углов берём отрицательное значение.