Теория:
Гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(k\) — это преобразование, в котором каждая точка \(P\) отображается такой точкой .
Гомотетия — это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).
Для гомотетичных фигур и в силе формулы отношения периметров и площадей подобных фигур.
Интересно: любые две окружности гомотетичны.
Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Это можно записать: гомотетия \((O; k)\).
На рисунке из фигуры можно получить фигуру гомотетией \((O; 2)\).
Если фигуры находятся на противоположных направлениях от центра гомотетии, то коэффициент отрицательный.
На следующем рисунке из фигуры можно получить фигуру гомотетией \((O; - 2)\).
Центр гомотетии может находиться и внутри фигуры. Серый треугольник из зелёного треугольника \(ABC\) получен гомотетией .
Гомотетия \((O; -1)\) — это центральная симметрия или поворот на \(180\) градусов, в данном случае фигуры одинаковые.
В отличие от гомотетии, геометрические преобразования — центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос — являются движением, т. к. в них фигура отображается в фигуру, равную данной.
Гомотетичные фигуры подобны, но подобные фигуры не всегда гомотетичны (в гомотетии важно расположение фигур).