1. Правильные многоугольники

 

Если в правильных выпуклых многоугольниках провести диагонали, то образуются правильные вогнутые многоугольники:

из диагоналей пятиугольника получается пентаграмма, из диагоналей шестиугольника — гексаграмма, а из диагоналей семиугольника — даже две разные гептаграммы.

 

 

Если провести все диагонали из одной вершины, любой \(n\)-угольник можно поделить на \(n-2\) треугольника, таким образом сумма всех внутренних углов определяется по формуле $180\mathrm{°}\cdot \left(n-2\right)$.

 

Так как все углы правильного \(n\)-угольника равны, то величина одного внутреннего угла равна $\frac{180\mathrm{°}\cdot \left(n-2\right)}{n}$.

Около любого правильного многоугольника можно описать и вписать в него окружность, при этом совпадают центры обеих окружностей, и эту точку называют центром многоугольника.

 

Вписанная окружность касается всех сторон, описанная окружность проходит через все вершины.

 

 

$\angle \mathit{AOH}=\frac{360\mathrm{°}}{n};\angle \mathit{AOK}=\frac{360\mathrm{°}}{2n}=\frac{180\mathrm{°}}{n}$.

 

Обозначим \(AH=a\).

В треугольнике \(AOK\) связаны сторона \(AK\) (половина \(AH\)), радиус описанной окружности \(OA = R\) и радиус вписанной окружности \(OK = r\).

 

 

Так как \(n\)-угольник состоит из \(n\) треугольников, равных \(AOH\), то

 

$S_{n-\mathit{уг}.}=n\cdot S_{\mathit{AOH}}=n\cdot \frac{\mathit{AH}\cdot r}{2}=\frac{P\cdot r}{2}=p\cdot r$.

 

Для правильного треугольника и квадрата дополнительно в силе все формулы, которые были рассмотрены в курсе геометрии.