Теория:
В \(13\) задании ЕГЭ нужно решить задачу по стереометрии. За верно выполненное задание можно получить \(3\) балла.
Пример:
\(SABC\) — правильная треугольная пирамида, \(AB=6\), грань \(SBC\) перпендикулярна ребру \(SA\).
\(P\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Плоскость проходит через точки \(P\), \(K\) и \(S\).
\(P\) и \(K\) — середины рёбер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Плоскость проходит через точки \(P\), \(K\) и \(S\).
а) Докажи, что треугольник \(SPK\) — равносторонний.
б) Найди расстояние от вершины \(B\) до плоскости .
Алгоритм выполнения задания
1. Прочитай внимательно задачу, выполни рисунок. Если нужно, сделай дополнительные построения.
2. Вспомни необходимые аксиомы, определения, теоремы.
3. Выполни на черновике доказательство пункта \(a\) и решение пункта \(б\).
3. Выполни на черновике доказательство пункта \(a\) и решение пункта \(б\).
4. Запиши все шаги решения обоих пунктов на чистовик разборчиво и кратко.
5. Запиши ответ пункта \(б\).
Критерии оценивания
Если ход решения верный и обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах, то решение оценивается в \(3\) балла.
\(2\) балла можно получить за верно решённый пункт \(б\), если задача решена без использования утверждения пункта \(а\).
\(1\) балл — если выполнен пункт \(а\) или решён пункт \(б\) с использованием утверждения пункта \(а\) (без его доказательства).
Если допущена одна арифметическая ошибка и в результате получен неверный ответ — минус \(1\) балл.
Как решить задание из примера
1. Выполним рисунок (рис. \(1\)). Дополнительные построения: \(SP\), \(SK\), \(PK\).
Рис. \(1\). Пирамида
2. Вспомним:
- определение правильной пирамиды;
- определение перпендикулярности прямой и плоскости;
- свойство средней линии треугольника;
- свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе;
- формула площади равностороннего треугольника;
- формула объёма пирамиды.
3. Докажем, что треугольник \(SPK\) — равносторонний.
Пирамида \(SABC\) — правильная, поэтому — равносторонний, , \(PK\) — средняя линия , \(PK=3\).
, поэтому , — прямоугольный.
Пирамида \(SABC\) — правильная, поэтому — равные равнобедренные прямоугольные треугольники.
\(SP\) — медиана прямоугольного , проведённая к гипотенузе, и равна её половине, .
\(SK\) — медиана прямоугольного , проведённая к гипотенузе, .
, треугольник — равносторонний.
4. Найдём расстояние от вершины \(B\) до плоскости как высоту пирамиды .
Если вершиной пирамиды \(SPKB\) считать точку \(B\), то:
, где \(h\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости .
.
5. Запишем ответ.
Ответ: б) .
Источники:
Рис. 1. Пирамида. © ЯКласс.