Теория:
Виды простых уравнений и способы их решения были рассмотрены в теории задания \(1\). Решение уравнения в задании \(12\) требует умения применять методы решения уравнений, знания формул степеней, логарифмов, тригонометрии. Уравнение может иметь несколько корней. Все корни, указанные в ответе, должны принадлежать области определения уравнения.
Три правила используют для нахождения области определения.
- Нельзя делить на нуль. Поэтому знаменатель не равен нулю, делитель не равен нулю. Если уравнение содержит тангенс или котангенс, то из области определения нужно исключить значения, в которых равны нулю косинусы или синусы соответственно.
- Нельзя извлекать корень из отрицательного числа.
- Нельзя находить логарифм по отрицательному основанию, из отрицательного числа, и в основании логарифма не должна стоять единица.
Обрати внимание!
При указании области определения уравнения она должна указываться правильно, то есть должны быть записаны все ограничения, решены полученные уравнения и неравенства.
При решении уравнений важно знать, какие преобразования приводят к равносильным уравнениям, а какие — к уравнениям-следствиям.
Когда нахождение области определения делает решение уравнения громоздким, удобно использовать равносильные преобразования.
1. Показательные уравнения: , при условии
Если , то решением уравнения будет
Если \(a=1\), то:
при \(b=1\) решение ;
при уравнение решений не имеет.
В частных случаях удобно использовать метод уравнивания показателей.
где \(D(g)\) — область определения функции \(g(x)\), \(D(h)\) — область определения функции \(h(x)\).
при всех \(a>0\) и .
При \(a>1\) степенная функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает на всей числовой прямой.
2. Логарифмические уравнения:
При \(a>1\) логарифмическая функция возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает на всей числовой прямой.
3. Иррациональные уравнения:
4. Распадающиеся уравнения:
где \(D(g)\) — область определения функции \(g(x)\), \(D(f)\) — область определения функции \(f(x)\).
5. Дробные уравнения:
6. Уравнения с модулем: