12. Пример. Арифметическая прогрессия из простых чисел

а) если $p$ — простое число, то из трёх чисел $p$, $p$$+$\(100\) и $p$$+$\(200\) одно всегда делится на \(3\), так как остаток от деления \(\)$p$\(\)$+$\(100\) на \(3\) равен остатку от деления \(\)$p$\(\)$+$\(1\) на \(3\), остаток от деления \(\)$p$\(\)$+$\(200\) на \(3\) равен остатку от деления \(\)$p$\(\)$+$\(2\) на \(3\).

 

Из трёх же последовательных целых чисел одно всегда делится на \(3\).

 

Если $p$ $=$ \(3\), то $p+200=203=7\cdot 29$ не является простым числом.

 

Ответ: нет.

 

б) Аналогично рассуждениям из пункта \(а\) получаем, что такой прогрессии тоже не существует, так как остаток от деления $p$$+$\(1000\) на \(3\) равен остатку от деления $p$\(\)$+$\(1\) на \(3\), остаток от деления $p$$+$\(2000\) на \(3\) равен остатку от деления $p$$+$\(2\) на \(3\).

 

Если $p$ $=$ \(3\), то $1003=17\cdot 59$ — число составное. 

 

Ответ: да.

 

в) Если рассматривать числа $p$, \(\)$p$\(\)$+$\(10\) и $p$$+$\(20\), то если они являются простыми, то одно из них, очевидно наименьшее, должно быть числом \(3\).

 

Итак, $p$ $=$ \(3\), $p$$+$\(10\)$=$\(13\) и $p$$+$\(20\)$=$\(23\).

 

Таким образом, существует только одна такая арифметическая прогрессия: \(3\), \(13\), \(23\).

 

Четырёх членов в такой прогрессии быть не может, так как

 

 $p$$+$\(30\) $=$ \(33\) $=3\cdot 11$.

 

Сумма членов такой прогрессии равна \(3+13+23=39\).

 

Ответ: \(39\).