Пример. Остатки от деления — урок. Единый государственный экзамен 11 класс, Математика.

Пример:

даны числа

a_{n} = 2^{2 n + 1} - 2^{n + 1} + 1

b_{n} = 2^{2 n + 1} + 2^{n + 1} + 1

, где

n

— натуральное число.

а) Могут ли числа

a_{n}

b_{n}

одновременно делиться на \(5\)?

б) Верно ли, что если

n

кратно \(4\), то

b_{n}

делится на \(5\)?

в) Какой наибольший остаток возможен при делении

a_{n}

b_{n}

на \(5\)?

Решение:

а) оценим разность

b_{n}

a_{n}

b_{n} - a_{n} = 2^{2 n + 1} + 2^{n + 1} + 1 - {(2}^{2 n + 1} - 2^{n + 1} + 1) = 2 \cdot 2^{n + 1} = 2^{n + 2} .

Число

2^{n + 2}

может оканчиваться на \(4\), \(8\), \(6\) или \(2\), то есть на \(5\) делиться не будет.

Ответ: нет.

б) Пусть

n = 4 k, k = 0, 1, 2, 3 ...

Тогда

b_{n} = 2^{8 k + 1} + 2^{4 k + 1} + 1

2^{4 k}

2^{8 k}

оканчиваются на \(6\), поэтому

2^{4 k + 1}

2^{8 k + 1}

оканчиваются на \(2\), а

2 + 2 + 1 = 5

, поэтому

b_{n}

делится на \(5\).

Ответ: да.

в) Рассмотрим четыре случая.

\(1\) случай:

n = 4 k, k = 0, 1, 2, 3 ...

Для

b_{n}

остаток от деления на \(5\) равен \(0\) (см. пункт \(б\)).

a_{n} = 2^{8 k + 1} - 2^{4 k + 1} + 1

при делении на \(5\) даёт в остатке \(1\), так как

2^{4 k + 1}

2^{8 k + 1}

оканчиваются на \(2\),

2 - 2 + 1 = 1

\(2\) случай:

n = 4 k + 1, k = 0, 1, 2, 3 ...

a_{n} = 2^{8 k + 3} - 2^{4 k + 2} + 1

2^{8 k + 3}

оканчивается на \(8\),

2^{4 k + 2}

оканчивается на \(4\).

8 - 4 + 1 = 5

. Остаток от деления

a_{n}

на \(5\) будет \(0\).

b_{n} = 2^{8 k + 3} + 2^{4 k + 2} + 1

8 + 4 + 1 = 13

, остаток от деления на \(5\) равен \(3\).

\(3\) случай:

n = 4 k + 2, k = 0, 1, 2, 3 ...

a_{n} = 2^{8 k + 5} - 2^{4 k + 3} + 1

2^{8 k + 5}

оканчивается на \(2\),

2^{4 k + 3}

— на \(8\).

12 - 8 + 1 = 5

. Остаток от деления

a_{n}

на \(5\) будет \(0\).

b_{n} = 2^{8 k + 5} + 2^{4 k + 3} + 1

2 + 8 + 1 = 11

, остаток от деления на \(5\) равен \(1\).

\(4\) случай:

n = 4 k + 3, k = 0, 1, 2, 3 ...

a_{n} = 2^{8 k + 7} - 2^{4 k + 4} + 1

2^{8k + 7}

оканчивается на \(8\),

2^{4k + 4}

— на \(6\).

8 - 6 + 1 = 3

. Остаток от деления

a_{n}

на \(5\) будет \(3\).

b_{n} = 2^{8 k + 7} + 2^{4 k + 4} + 1

8 + 6 + 1 = 15

. Остаток от деления на \(5\) равен \(0\).

Таким образом, наибольший остаток равен \(3\).

Ответ: \(3\).

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

3. Пример. Остатки от деления

Теория: