Теория:
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция возрастает на промежутке \(X\).
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка \(X\) выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция убывает на промежутке \(X\).
Итак:
если существует производная функции в интервале \((a,b)\) и в данном интервале
1) , то функция в нём не убывает;
2) , то функция в нём не возрастает;
3) , то функция в нём возрастает;
4) , то функция в нём убывает.
Пример:
необходимо исследовать интервалы монотонности функции .
Сначала находим производную: .
Это парабола, которая пересекает ось \(x\) в точках и , и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в интервале (функция убывает) и положительна в интервалах и (функция возрастает).
Ответ:
функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале .