Теория:
Формулы двойного аргумента позволяют представить тригонометрическую функцию удвоенного аргумента в виде выражения тригонометрических функций простого (одинарного) аргумента.
Последовательно приведём и докажем формулы двойного аргумента для функций синуса, косинуса и тангенса.
1. Рассмотрим выражение \(sin 2 x\) — представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\) и воспользуемся известной формулой синуса суммы аргументов:
.
Тогда получим:
.
Итак,
формула синуса двойного аргумента: .
.
Тогда получим:
.
Итак,
формула косинуса двойного аргумента: .
3. Теперь рассмотрим выражение \( tg 2 x\) и вновь представим его аргумент в виде \(2 x=x+x\), что даст возможность воспользоваться известной формулой тангенса суммы аргументов:
.
Тогда получим:
;
формула тангенса двойного аргумента: .
Обрати внимание!
Формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента верны для всех значений аргумента.
Формула тангенса двойного аргумента верна лишь для значений \(x\), входящих в область определения функций \(tg x\) и \(tg 2 x\), при выполнении условия . То есть , .
Вместо аргумента \(x\) может стоять любое выражение, например:
;
— эту формулу называют формулой половинного аргумента;
;
;
и т. п.
Любую из рассмотренных формул двойного аргумента можно использовать в обе стороны.