Теория:
Перед суффиксами деепричастий сохраняются те же гласные, что были в инфинитиве (неопределённой форме глагола), от которого образовано слово, перед -ТЬ. Важно обращать внимание на то, какой вид у деепричастия (совершенный или несовершенный), и в зависимости от этого подбирать производный глагол аналогичного вида.
Пример:
зависев — зависеть,
оттаяв — оттаять,
промаявшись — промаяться,
рассматривая — рассматривать.
Обрати внимание!
Сохранение гласной из инфинитива перед суффиксом деепричастия аналогично правилам о правописании гласной перед суффиксом прошедшего времени глаголов и перед суффиксом -ВШ- действительного причастия настоящего времени.
Пример:
понадеяться (инфинитив) — понадеявшись (деепричастие), понадеявшийся (причастие), понадеялся (глагол в прошедшем времени).
Обрати внимание!
Иногда глагольный суффикс не остаётся в деепричастиях с суффиксами -А и -Я. Особенно это характерно для деепричастий, образованных от глаголов с суффиксами -ОВА-/-ЕВА-, которые выпадают в деепричастиях.
Пример:
смотреть, но смотря;
спешить, но спеша;
дозировать, но дозируя;
потчевать, но потчуя.