Теория:

Деепричастный оборот — это деепричастие с зависимым от него словом или словами.
Зависимые слова — это те слова, к которым можно поставить вопрос от деепричастия.
Деепричастный оборот с одним зависимым словом
Деепричастный оборот с несколькими зависимыми словами
Увидев (Что?) море.
Вспомнив (О ком?) обо мне.
Соображая (Как?) быстро
Ловко увернувшись от удара:
увернувшись (Как?) ловко;
увернувшись (От чего?) от удара
Деепричастные обороты почти всегда обособляются, то есть выделяются на письме запятыми, вне зависимости от положения в предложении: в начале, в середине или в конце. Такая конструкция является обособленным обстоятельством.
Сделав работу над ошибками, Женя переписал текст в тетрадь.
Женя, сделав работу над ошибками, переписал текст в тетрадь.
Женя переписал текст в тетрадь, сделав работу над ошибками.
Если в предложении есть два однородных обстоятельства, выраженные деепричастными оборотами, между которыми стоит союз и, то запятая между оборотами не ставится.
Женя, сделав работу над ошибками и переписав текст в тетрадь, пошёл гулять.
Деепричастный оборот, стоящий после союза или союзного слова, отделяется от него запятой (такой деепричастный оборот можно переставить в другую часть предложения без потери смысла или опустить).
Женя сделал работу над ошибками и, переписав текст в тетрадь, пошёл гулять. Сравни: Женя сделал работу над ошибками и пошёл гулять (союз и соединяет однородные сказуемые и не входит в деепричастный оборот).
Исключение составляют случаи, когда деепричастный оборот стоит после союза а (деепричастный оборот нельзя переместить в другую часть предложения, не нарушив его структуры, и нельзя опустить).
Жене нужно сделать работу над ошибками, а сделав её, переписать текст в тетрадь.
Если из этого предложения убрать деепричастный оборот «сделав её», получится бессмыслица.
Если деепричастный оборот стоит после союза а и его можно переместить в другую часть предложения без потери смысла или опустить, тогда запятая ставится.
Женя делает работу над ошибками, а, сделав её, затем он перепишет текст в тетрадь.
 
Не обособляются:
  • деепричастные обороты — фразеологизмы: повеся нос, положа руку на сердце и др.;
  • деепричастные обороты, стоящие в одном ряду с другими обстоятельствами, выраженными существительными с предлогами или наречиями, и связанные с ними союзом и: Женя, кропотливо и стараясь быть аккуратным, переписывает текст в тетрадь.
 
Обрати внимание!
Ошибки, связанные с употреблением деепричастного оборота
  • Отсутствие в предложении основного действия, выраженного глаголом-сказуемым: как Женя аккуратен, выполняя работу над ошибками. Правильно: Женя старался быть аккуратным, выполняя работу над ошибками.
  • Основное и добавочное действия (глагол-сказуемое и деепричастие-обстоятельство) относятся к разным действующим лицам: закончив работу над ошибками, она должна быть переписана в тетрадь. Кто заканчивает работу над ошибками: Женя или тетрадь? Правильно: закончив работу над ошибками, Женя должен переписать её в тетрадь.
Классический пример последней ошибки можно встретить в рассказе А. П. Чехова «Жалобная книга».
Подъезжая к своей станции и глядя на природу в окно, у меня слетела шляпа. И. Ярмонкин.
Грамматическая основа — шляпа слетела. Слетела (Что делая? Как?) подъезжая и глядя. Но к станции ведь подъезжает не шляпа, а мужчина, на котором эта шляпа надета.
Автор совершил эту ошибку намеренно, чтобы придать речи комический оттенок и иронично охарактеризовать персонажа.