Теория:
В задании \(15\) все задачи так или иначе связаны с треугольником и его элементами. Вспомним всё, что нам известно об этой фигуре.
Основные свойства треугольника
1. Сумма всех углов в треугольнике равна \(180°\). То есть если в задаче даны два угла, то всегда легко найти третий, вычитая их сумму из \(180°\).
2. Внешний угол треугольника равен разности \(180°\) и градусной меры смежного с ним угла треугольника, или сумме двух других углов треугольника, несмежных с ним.
3. Периметр треугольника — это сумма всех его сторон.
Рис. \(1\). Треугольник
Равнобедренный и равносторонний треугольники и их особенности
4. Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого есть две равные стороны. Сторона, стягивающая эти равные стороны, называется основанием.
а) Углы при основании треугольника равны.
б) Медиана, биссектриса и высота такого треугольника, проведённые из вершины, противоположной основанию — один и тот же отрезок, делят равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Рис. \(2\). Равнобедренный треугольник
5. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.
а) Равны все углы, и каждый из них — \(60°\).
б) Равны все медианы, биссектрисы и высоты.
в) Есть отдельная формула площади, относящаяся только к нему, причём в некоторых задачах полезно уравнять эту формулу площади с формулой площади, относящейся ко всем треугольникам, и таким образом найти, например, высоту.
Рис. \(3\). Равносторонний треугольник
Площадь
6. Площадь любого треугольника можно найти по нескольким основным формулам.
а) Половина произведения основания на высоту, проведённую к нему.
б) Половина произведения двух сторон на синус угла между ними.
в) Формула Герона — квадратный корень из полупериметра, умноженного на разность полупериметра с каждой стороной треугольника.
Рис. \(4\). Треугольник
Подобие
а) Стороны подобных треугольников соотносятся с равным коэффициентом, который называется коэффициент подобия.
б) Площади таких треугольников соотносятся как квадрат коэффициента их подобия.
в) Периметры подобных треугольников соотносятся как коэффициент их подобия.
г) Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон, параллельна одному из оснований и равна его половине.
д) Медианы любого треугольника делятся точкой пересечения на отрезки, относящиеся как \(2 : 1\), считая от вершины.
Рис. \(5\). Треугольники
Прямоугольный треугольник и тригонометрические функции
а) В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90°\), два других угла — \(90°\) в сумме. Гипотенуза всегда длиннее катета. Сумма катетов всегда длиннее гипотенузы.
б) В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора, по которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
в) Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы: \(CM=AM=BM\).
г) Различают синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
д) Основное тригонометрическое тождество гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса острого угла равна единице.
Рис. \(6\). Прямоугольный треугольник
Таблица некоторых значений тригонометрических функций, которые используются на экзамене и должны быть выучены наизусть, доступна здесь.