1. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Для \(14\) задания необходимо знать теорию арифметической и геометрической прогрессий.

$a_{n+1}=a_n+d$, где $a_{n+1}\hspace{0.17em}$ — последующий член, $a_n$ — предыдущий член и $d$ — разность арифметической прогрессии.

 

Формула для нахождения разности: $d=a_{n+1}-a_n$.

 

Для арифметической прогрессии, где известен первый член $a_1$ и разность $d$, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

 

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot d$.

 

Свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

 

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

 

Сумма первых членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

 

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

 

И вторая формула для вычисления суммы: $S_n=\frac{2a_1+d\cdot \left(n-1\right)}{2}\cdot n$.

 

Более подробно можно познакомиться с темой здесь.

$b_{n+1}=b_n\cdot q$, где $b_{n+1}$ — последующий член, $b_n$ — предыдущий член и $q$ — знаменатель геометрической прогрессии.

 

Формула для нахождения знаменателя: $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$.

 

Для геометрической прогрессии, где дан первый член $b_1$ и знаменатель $q$, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

 

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$.

 

Свойство геометрической прогрессии: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов.

 

$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$.

 

Сумму первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, не равным нулю, можно найти по формуле:

 

$S_n=b_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$, где $q\ne 1$.

 

Также можно найти сумму по формуле: $S_n=\frac{b_{n}q-b_1}{q-1}$.

 

Более подробно можно познакомиться с темой здесь.