Квадратное уравнение — урок. Основной государственный экзамен, Математика.

Квадратное уравнение (уравнение второй степени) можно решить при помощи дискриминанта квадратного уравнения, или, если оно неполное или представлено в виде двух множителей (скобка, умноженная на скобку), иным способом, более коротко. Тем не менее, при помощи дискриминанта и формулы корней можно решить как полное, так и неполное квадратное уравнение, просто вместо отсутствующих коэффициентов использовать $0$.

Полное квадратное уравнение выглядит так:

a x^{2} + bx + c = 0

, где $a$, $b$, $c$ — числа, или коэффициенты, причём

a \neq 0

. Если $b$ или $c$ равны нулю — получится неполное квадратное уравнение.

Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.

\begin{array}{l} a x^{2} + bx + c = 0, \\ D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c, \\ x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a} . \end{array}

Полное квадратное уравнение

- 15 x = - 4 x^{2} - 9 .

Перенесём все числа влево, соблюдая смену знаков при этом, и выстроим по порядку: $4x^2$, $15x$ и $9$.

$\begin{array}{l} - 15 x = - 4 x^{2} - 9; \\ 4 x^{2} - 15 x + 9 = 0 . \end{array}$
Подставим в формулу дискриминанта, вычислим значение.

$\begin{array}{l} D = 225 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 81; \\ \sqrt{D} = 9 . \end{array}$
Подставим коэффициент $-15$ с противоположным знаком, $9$ и $4$ в формулу корней квадратного уравнения и найдём оба корня.

$\begin{array}{l} x_{1} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = 3, \\ x_{2} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = 0, 75 . \end{array}$

Неполное квадратное уравнение,
отсутствует коэффициент $b$

4 x^{2} - 15 = 1 .

Оставим $4x^2$ справа, а $-15$ перенесём вправо со сменой знака.

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 15 = 1; \\ 4 x^{2} = 16 . \end{array}$
Разделим уравнение на $4$.

$x^{2} = 4 .$
Извлечём корень из $4$, в качестве первого значения переменной возьмём $2$, в качестве второго $-2$.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2 .$

Неполное квадратное уравнение,
отсутствует коэффициент $c$

5 x^{2} + 25 x = 0 .

Слева два слагаемых, справа ноль. Разделим всё уравнение на $5$.

$5 x^{2} + 25 x = 0| : 5 .$
Вынесем $x$ за скобку. Получим, что произведение равно нулю. Значит, либо $x=0$, либо многочлен в скобке.

$\begin{array}{l} x (x + 5) = 0; \\ x_{1} = 0 . \end{array}$
$x+5$ равно нулю тогда и только тогда, когда $x=5$. Таким образом, получим второй корень.

$\begin{array}{l} x + 5 = 0; \\ x_{2} = - 5 . \end{array}$

Квадратное уравнение, произведение двух многочленов

(6 x - 3) (- x + 3) = 0 .

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю, вне зависимости от их количества. Приравняем к нулю оба выражения в скобках, уравнение распадается на два линейных.

$6 x - 3 = 0, - x + 3 = 0 .$
Решим каждое из них по отдельности, получим два корня.

$\begin{array}{l} 6 x - 3 = 0; \\ 6 x - 3 = 0| : 6 \\ x - 0,5 = 0, x_{1} = 0,5; \\ - x + 3 = 0, - x = - 3, \\ x_{2} = 3 . \end{array}$

Обрати внимание!

Дискриминант в квадратном уравнении обязательно получается положительным, и из него обязательно легко извлекается корень. Если это не так — ищи ошибку в решении.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

3. Квадратное уравнение

Теория: