Теория:
Квадратное неравенство решается через схематическое изображение параболы, лежащей в основе неравенства. Неравенства более высокой степени, представленные в виде нескольких перемноженных друг на друга скобок — методом интервалов.
Квадратное неравенство, схематичная парабола
- Приравняем квадратный трёхчлен к нулю и найдём его корни, используя дискриминант квадратного уравнения и формулу его корней.
- Заметим, что коэффициент при \(x^2\) положительный, значит, ветви параболы будут идти вверх. Нанесём на координатную прямую оба корня в порядке возрастания и изобразим схематично параболу. Согласно знаку неравенства, квадратный трёхчлен должен быть меньше нуля. На схеме меньше нуля та часть параболы, которая находится под координатной прямой. Значит, . Это и есть решение неравенства.
Ответ: .
Метод интервалов
- Неравенство, представляющее собой несколько выражений в скобках, умноженных друг на друга, и это произведение сравнивается с нулём, можно решить методом интервалов. Тогда для каждой скобки определяется свой корень, поскольку функция меняет знак, проходя через эти точки.
- Построим эти точки на координатной прямой, расположив их в порядке возрастания. Возьмём любое удобное число из какого-нибудь промежутка. Проще всего брать ноль или единицу. Подставим это число в каждую скобку и определим, положительным или отрицательным будет значение выражения в этой точке.
- Знаки чередуются. Поэтому теперь, зная один, легко можно расставить их и в других промежутках. Запишем решение: .
Ответ: .
