Теория:
В задании № \(22\) ОГЭ предлагается построить график функции и определить его пересечение с какой-либо прямой или положение относительно какого-либо объекта.
Пример:
определи, при каких значениях прямая, заданная формулой , и график функции будут иметь ровно три общие точки. Построй график функции и эту прямую, отметь точки пересечения и запиши значения, которые может принимать параметр .
Алгоритм выполнения задания
- Определим тип функции.
- Упростим выражение (сократим дробь, раскроем модуль).
- Определим ключевые точки для построения графика.
- Проанализируем расположение второго объекта (прямая, точки пересечения и прочее).
- Рассчитаем и/или построим ответ.
- Запишем получившееся решение и ответ на бланк № \(2\), перенося всё основное и необходимое. График следует строить аккуратно и разборчиво, нужные точки отметить.
На бланке ответов № \(2\) нужно разместить сам график, пояснения, как преобразовывалась функция, основные шаги решения. В конце дать сам ответ на вопрос. Например, значение параметра.
Обрати внимание!
Для выполнения задания достаточно схематичного изображения графика, вовсе необязательно строить по формуле множество точек. Достаточно важных опорных, которые дадут полное представление о поведении графика и результатах анализа пересечения этого графика с другими линиями.
Критерии оценивания
- График построен верно, верно найдены искомые значения параметра — \(2\) балла.
- График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены — \(1\) балл.
- Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше, — \(0\) баллов.
Как решить задание из примера?
1. В формуле мы видим переменную во второй степени и модуль. Значит, нужно предположить, что это будет какая-то сложная парабола. Разберём функцию.
2. Модуль любого числа — расстояние от этого числа на координатной прямой до нуля, и обязательно имеет положительное значение. Из этого можно заключить, что выражение, расположенное внутри модуля, нужно рассматривать в двух версиях — в исходном виде и умноженном на \(-1\). Таким образом, наша функция распадётся на две, причём в обоих случаях ветви параболы будут направлены вниз, поскольку коэффициент при переменной во второй степени отрицательный.
2. Модуль любого числа — расстояние от этого числа на координатной прямой до нуля, и обязательно имеет положительное значение. Из этого можно заключить, что выражение, расположенное внутри модуля, нужно рассматривать в двух версиях — в исходном виде и умноженном на \(-1\). Таким образом, наша функция распадётся на две, причём в обоих случаях ветви параболы будут направлены вниз, поскольку коэффициент при переменной во второй степени отрицательный.
3. После преобразований становится ясно, что мы получим график, состоящий из двух парабол. Построить их можно любым удобным способом. Например, найти оба корня (точное или примерное значение) для каждого трёхчлена или один корень при равном нулю дискриминанте.
Рис. \(1\). Первый этап построения графика
Ясно, что параболы симметричны, а значит, можно провести ось симметрии между этими двумя точками и найти значения функции (точные или примерные, в зависимости от корней) для этих значений аргумента в каждой параболе. Также для поиска координат вершин наших парабол можно использовать для обеих парабол формулу вершины параболы.
Теперь имеем достаточно данных, чтобы легко можно было схематично построить график функции.
Рис. \(2\). Второй этап построения графика
Теперь посмотрим на график. Ясно, что прямая будет параллельна оси \(x\).
4. Три общие точки она будет иметь с графиком в двух случаях: если пройдёт через точку пересечения графиков (для поиска координат этой точки надо оба уравнения уравнять) или через одну из вершин.
Рис. \(3\). Ответ в виде графика
5. Таким образом, верным ответом для этого задания будет вышеуказанное схематичное изображение графика функции на бланке № \(2\) и ответ: