4. Как решать задание ОГЭ (4). Вычисление угла с помощью окружности

Рассмотрим разновидность задания № \(25\) — геометрическая задача на вычисление градусной меры угла с помощью окружности.

 

Для выполнения необходимо вспомнить теорию.

  

Дано: $\mathrm{\Delta }\mathit{ABC}$; $\angle B=90\mathrm{°}$; $\angle \mathit{BAL}=\angle \mathit{CAL}$; \(p\) - серединный перпендикуляр к \(BC\), $\mathit{AL}\cap p=K$; $\angle \mathit{ACB}=20\mathrm{°}$.

 

Найти: $\angle \mathit{BCK}$.

 

 

 

($\angle \mathit{ABC}=90\mathrm{°};\angle \mathit{BAL}=\angle \mathit{LAC},$ так как \(AL\) — бис­сек­три­са).

 

2) Сделаем дополнительное построение: проведём окружность, опи­сан­ную около треугольника \(ABC\). Тогда получим, что биссектриса пересекает окружность в точке \(L\).

 

Соединим точки, получим треугольник \(BCL\). Так как $\angle \mathit{BAL}=\angle \mathit{CAL}$, а \(AL\) — бис­сек­три­са, то дуга \(BL\) равна дуге \(LC\). А раз дуги равны, то хорды, стягивающие эти дуги, также будут равны, отсюда следует, что треугольник \(BLC\) — равнобедренный.

 

3) Проведём высоту из вершины \(L\) к основанию \(BC\). Так как \(LN\) — это высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, то она также является биссектрисой и медианой, тогда \(BN=BC\). Отсюда следует, что \(LN\) — серединный перпендикуляр. Это означает, что точка \(L\) сов­па­да­ет с точ­кой \(K\), то есть с точ­кой пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к \(BC\) и бис­сек­три­сой.

 

4) $\angle \mathit{BCK}=\angle \mathit{BAK}$ (точка \(L\) есть точ­ка \(K\)) как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а $\angle \mathit{BAK}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$.

Найдём угол \(BAC\):

 

$\angle \mathit{BAC}=180\mathrm{°}-\angle \mathit{ABC}-\angle \mathit{ACB}$ (так как сумма углов треугольника равна \(180°\));

 

$\angle \mathit{BAC}=180\mathrm{°}-90\mathrm{°}-20\mathrm{°}$;

 

$\angle \mathit{BAC}=70\mathrm{°}$.

 

Значит, угол \(BCK\) равен 35\(°\).