5. Как решать задание ОГЭ (5). Площадь параллелограмма

1) Построим па­рал­ле­ло­грам­м \(ABCD\), про­ве­дём диа­го­наль \(AC\), построим окружность, впи­сан­ную в тре­уголь­ник \(ABC\). Рас­сто­я­ния от точки \(O\) до точки \(A\) и пря­мых \(AD\) и \(AC\) со­от­вет­ствен­но равны 25, 9 и 7.

 

2) Сделаем дополнительные построения. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому \(AO\), \(BO\), \(CO\)  — биссектрисы. Проведём касательные — \(OK\), \(OM\), \(OL\).  Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

 

3) Из прямоугольного треугольника \(AOK\) по теореме Пифагора найдём \(AK\):

 

 

4) Отрезки \(OK\), \(OM\) и \(OL\)  равны как радиусы вписанной в треугольник \(ABC\) окружности, то есть $\mathit{OK}=\mathit{OM}=\mathit{OL}=7$. Рассмотрим треугольники \(ALO\) и \(AOK\), они прямоугольные, углы \(LAO\) и \(OAK\) равны,  \(AO\) — общая, следовательно, треугольники равны, откуда \(AL=AK=\) 24. Аналогично из равенства треугольников \(COM\) и \(COK\) получаем \(MC=CK\), а из равенства треугольников \(BOL\) и \(BOM\) — \(BL=BM\).

 

5) Площадь треугольника \(ABC\) можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

 

 

так как \(AL=AK\), \(BM=LB\), \(MC=CK\), то

 

 

6) Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

 

 

7) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ACD\): \(AB\) равно \(CD\), \(AD\) равно \(BC\), углы \(ABC\) и \(ADC\) равны, следовательно, треугольники \(ABC\) и \(ACD\) равны. Поэтому площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади параллелограмма:

 

 

8) Площадь параллелограмма равна:

 

 

Ответ: 2688.