Теория:
В задании \(16\) используется окружность и различные построения, связанные с ней. Вспомним несколько фактов, которые могут пригодиться в решении таких задач.
Основные сведения
Окружность — это множество точек, расположенных на одном расстоянии от центра окружности. Все радиусы окружности равны, радиус является половиной диаметра.
Касательная
Если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, она называется касательной. Между радиусом и касательной — обязательно прямой угол.
Рис. \(1\). Окружность и касательная
Углы
Если угол опирается на диаметр, то он обязательно прямой. На рисунке треугольник \(ABC\) прямоугольный, диаметр является гипотенузой, хорды \(AB\) и \(BC\) — катеты. Для поиска неизвестных сторон можно пользоваться теоремой Пифагора, посмотреть можно здесь.
Рис. \(2\). Угол, опирающийся на диаметр
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Что такое вписанный угол, можно посмотреть здесь.
Рис. \(3\). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу
Центральный и вписанный углы соотносятся как \(2:1\). Подробно — здесь.
Рис. \(4\). Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу
Пересекающиеся диаметры
Если провести через центр окружности два отрезка, мы получим две хорды, являющиеся также диаметрами окружности. Образуют два равных равнобедренных треугольника.
Рис. \(5\). Пересекающиеся диаметры
Равносторонний треугольник
Если вокруг равностороннего треугольника описать окружность, то получатся три равные дуги. Площадь такого треугольника будет связана с радиусами вписанной и описанной окружностей, их центры будут расположены в одной и той же точке. Подробно по теме можно посмотреть здесь.
Рис. \(6\). Равносторонний треугольник и описанная окружность
Вписанный четырёхугольник
Если на окружности поставить четыре точки, то получим вписанный четырёхугольник. Противоположные углы такого четырёхугольника обязательно в сумме дают по \(180°\). Подробнее об отношениях четырёхугольников и окружности здесь и здесь.
Рис. \(7\). Вписанный четырёхугольник
Длина окружности и площадь круга
Для расчёта длины окружности и площади круга используется отношение длины окружности к её диаметру, которое называется числом «пи» и примерно равно \(3,14\). . Пользуясь этими формулами, можно рассчитать длину дуги окружности и площадь части окружности. Подробнее здесь.