Теория:
В \(24\) задании ОГЭ по математике предлагается решить геометрическую задачу на доказательство.
Пример:
дан параллелограмм \(ABCD\), в котором из середины его стороны \(BC\) точки \(H\) проведены два отрезка к вершинам противоположной стороны. Докажи, что все углы этого параллелограмма равны между собой, если указанные отрезки равны.
Алгоритм выполнения задания
- Построить рисунок-схему, соответствующий условию. Отметить на рисунке всё известное.
- Исследовать рисунок, записать все логические размышления. После любого утверждения обязательно обосновывать его либо следить за тем, чтобы оно логично и неоспоримо вытекало из вышесказанного.
- Перенести рисунок и решение в бланк № \(2\), исключив все лишние записи и тупиковые ветви решения.
Критерии оценивания
Если доказательство верное и все шаги обоснованы, то задание оценивается в \(2\) балла.
Доказательство в целом верное, но содержит неточности — \(1\) балл. Это значит, что получить баллы только за верный ответ невозможно. Составить доказательство без рисунка — тоже.
Как решить задание из примера?
- Построим рисунок и отметим на нём равные отрезки и углы.
Рис. \(1\). Рисунок к задаче
- \(∠BHA = ∠HAD\), \(∠CHD = ∠HDA\) как накрест лежащие при двух параллельных прямых (противолежащие стороны параллелограмма) и секущих (прямые \(AH\) и \(DH\)).
Но треугольник \(AHD\) равнобедренный, поэтому два угла при его основании равны между собой \(∠HAD = ∠HDA\). Значит, все четыре угла равны между собой. Следовательно, треугольники, отсекаемые от параллелограмма этими отрезками, равны по первому признаку (по двум сторонам и углу, заключённому между ними). Тогда \(∠B = ∠C\).
Но они также односторонние при двух параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(BC\). Значит, каждый из них прямой. А поскольку \(ABCD\) — параллелограмм по условию, то и противоположные им углы тоже прямые. Что и требовалось доказать.
- Перенесём рисунок и доказательство на бланк № \(2\) коротко.
