3. Операции с целыми числами. Сложение и вычитание

Учитывая использование для отрицательных чисел дополнительного кода, операции сложения и вычитания сводятся к одной операции сложения.

Рассмотрим на примере двух чисел \(A\) и \(B\) все возможные операции и получим значение \(A + B\), \(A - B\) и \(B - A\). Действия будем проводить в восьмиразрядной сетке.
 

Пример \(1\)

Выполни действия над числами \(A\) и \(B\), получи значение машинного кода суммы чисел \(A\) и \(B\).

 

Пусть \(A = 71\); \(B = 36\).

 

1. Получим прямой код чисел \(A\) и \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

2. ${[K_A]}_{\mathit{ПК}}={01000111}_2={47}_{16}$; ${[K_B]}_{\mathit{ПК}}={00100100}_2={24}_{16}$.

 

3. Выполним поразрядное сложение:

 

 

Ответ: $[{K_{A+B}]}_{\mathit{ПК}}={01101011}_2={6B}_{16}.$

 

Пример \(2\)

 

Выполни действия над числами \(A\) и \(B\), получи значение машинного кода суммы чисел \(A\) и \(B\).

 

Пусть \(A = 120\); \(B = 116\).

 

1. Получим прямой код чисел \(A\) и \(B\) в восьмиразрядной сетке.

 

2. ${[K_A]}_{\mathit{ПК}}={01111000}_2$; ${[K_B]}_{\mathit{ПК}}={01110100}_2$.

 

3. Выполним поразрядное сложение.

 

4. Проанализируем полученный результат. Так как сумма представлена восемью разрядами, а в старшем разряде \(1\), то по правилам записи числа мы получили отрицательную сумму. Причина ошибки в том, что сумма исходных чисел «переполняет» допустимый диапазон чисел со знаком в восьмиразрядной сетке (\(120 + 116 = 236\), диапазон [\(-128\); \(127\)]).

 

Для обнаружения этой ошибки воспользуемся следующим приёмом.

 

1) Добавим к каждому из чисел ещё один разряд, дублирующий знаковый.

 

 

2) Как видим, при сложении только знаковых разрядов должен получиться \(0\), по факту сложения получили \(1\). Разница и указывает на наличие ошибки.

3) Вывод таков. Данные числа надо складывать в сетке с бόльшим количеством разрядов.

 

 

5. ${0000000011101100}_2={00\mathit{EC}}_{16}={236}_{10}$, вычисления в десятичной системе подтверждают полученный результат.

 

Ответ: $[{K_{A+B}]}_{\mathit{ПК}}={0000000011101100}_2={00\mathit{EC}}_{16}={236}_{10}.$

 

Пример \(3\)

Выполни действия над числами \(A\) и \(B\), получи значение машинного кода разности чисел \(B\) и \(A\).

 

1. Получим прямой код числа \(B\) в восьмиразрядной сетке:

 

${[K_A]}_{\mathit{ПК}}={00100100}_2$.

 

2. Получим дополнительный код числа \(A\) в восьмиразрядной сетке:

 

3. Выполним поразрядное сложение.

 

Оценим полученный результат. Согласно приёму с дублированием знакового разряда, ошибки в вычислениях нет (см. Пример \(2\).) Так как операция выполняется в восьмиразрядной сетке, единица в самом старшем разряде обозначает, что получено отрицательное число, и это его дополнительный код.

 

Определим ${[K_{B-A}]}_{\mathit{ПК}}$.

 

Отнимем от числа единицу и инвертируем его:

${00100011}_2 = {35}_{10}$.

 

4. Вычисления в десятичной системе счисления подтверждают полученный результат.

Ответ: ${[K_{A-B}]}_{\mathit{ПК}}={11011101}_2={\mathit{DD}}_{16}.$

 

Практически для операции сложения применяют рекурсивный алгоритм, использующий операцию сдвига и прибавление единицы.

Сдвиг влево в любой системе счисления равносилен умножению на основание системы счисления.

 

 

 

В соответствии с этими тождествами сложение $S_1$ \(= 14\) и $S_2$ \(= 16\) будет выглядеть как 

\((((1 + 1 × 2) × 2 + 1) × 2 + 1) × 2 = 30.\)