Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь параллелограмма

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

\begin{array}{l} S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{EBCD}; \\ S_{EBCF} = S_{EBCD} + S_{DCF .} \end{array}

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

\begin{array}{l} S_{EBCF} = BE \cdot BC; \\ S_{ABCD} = BE \cdot BC = BE \cdot AD . \end{array}

Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

S_{п - гр} = a \cdot h

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

S_{ABCD} = 4 \cdot S_{ABO} = 4 \cdot \frac{BO \cdot AO}{2} = 2 \cdot BO \cdot AO

Формула определения площади ромба:

S_{ромба} = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

S_{квадрата} = \frac{d^{2}}{2}

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

S_{треуг} = \frac{a h_{a}}{2}

, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

\begin{array}{l} S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}; \\ p = \frac{a + b + c}{2} \end{array}

— формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S = \frac{a \cdot b}{2}

, где \(a\) и \(b\) — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

Решение:

\begin{array}{l} p = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50; \\ S_{Δ} = \sqrt{50 \cdot (50 - 17) \cdot (50 - 39) \cdot (50 - 44)} = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \\ = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3} = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 330 ({см}^{2}) . \end{array}

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители:

\sqrt{a \cdot a} = a

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади:

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = 24 ({см}^{2})

Составляем уравнение:

\begin{array}{l} \frac{15 \cdot h}{2} = 24| \cdot 2 \\ 15 \cdot h = 48; \\ h = \frac{48}{15} = 3,2 (см) . \end{array}

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

S_{параллелограмма} = 2 \cdot S_{Δ} = 2 \cdot 330 = 660 ({см}^{2})

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

\begin{array}{l} S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{DBC}; \\ S_{ABCD} = \frac{AD \cdot BE}{2} + \frac{BC \cdot DF}{2} = \frac{AD \cdot BE}{2} + \frac{BC \cdot BE}{2} = \\ = \frac{(AD + BC) \cdot BE}{2} . \end{array}

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции

Теория: