Теория:
Пользуясь двумя постулатами Эйнштейна, найдём преобразования, связывающие две системы отсчёта \(K\) и \(K’\), одна из которых движется вдоль оси \(X\) со скоростью \(v=const\) относительно другой.
Допустим, в момент времени \(t'=t=0\) начала координат совпадали (\(O=O'\)) и была включена лампочка, от которой начала распространяться световая волна. Тогда в какой-то момент времени \(t_1\) она придёт в точку \(x_1\), а по первому постулату Эйнштейна это означает, что во второй системе в момент времени \(t'_1\) она придёт в точку \(x'_1\), а значит, по второму постулату Эйнштейна:
\(x_1=c\cdot t_1,\; x'_1=c \cdot t'_1\). (\(1\))
В релятивистской теории важное значение имеет коэффициент Лоренца:
\(\boxed{\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(2\))
Преобразования Лоренца для координат и времени могут быть записаны в виде:
\(\boxed{x'=\alpha (x-vt)=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\; y'=y,\; z'=z,\; t'= \frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(3\))
Заметим, что подстановка формул (\(3\)) в формулы (\(1\)) приведёт к верному числовому равенству.
В пределе, когда \(v \ll c\), из формул (\(3\)) получим преобразования Галилея (это сущность принципа соответствия).
Из преобразований Лоренца следуют следующие закономерности:
- релятивистское сокращение линейных размеров:
\(\boxed{l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\), (\(4\))
где \(l_0\) — продольный размер стержня в покоящейся системе отсчёта,
\(l\) — продольный размер стержня в движущейся со скоростью \(v\) системе отсчёта, относительно покоящейся;
- релятивистское замедление времени: в разных системах отсчёта временной интервал между одними и теми же событиями различен:
\(\boxed{\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\), (\(5\))
где \(\tau_0\) — длительность события в покоящейся системе отсчёта,
\(\tau\) — длительность события в движущейся со скоростью \(v\) системе отсчёта, относительно покоящейся.
Формула (\(5\)) является разрешением парадокса о том, что время жизни движущейся элементарной частицы отличается от времени жизни такой же покоящейся частицы.
Релятивистский закон сложения скоростей отличается от формулы в классической механике. Скорость тела в одной системе отсчёта \(v_1\), вторая система отсчёта движется относительно первой со скоростью \(v\), тогда скорость тела во второй системе отсчёта:
\(\boxed{v_2=\frac{v_1+v}{1+\frac{v_1\cdot v}{c^2}}}\). (\(6\))
Если в формулу (\(6\)) подставить значение \(v_1=c\), то получим, что:
\(v_2=\frac{c+v}{1+\frac{v}{c}}=c\),
то есть скорость света в любой системе отсчёта равна \(c\).
Допустим, в момент времени \(t'=t=0\) начала координат совпадали (\(O=O'\)) и была включена лампочка, от которой начала распространяться световая волна. Тогда в какой-то момент времени \(t_1\) она придёт в точку \(x_1\), а по первому постулату Эйнштейна это означает, что во второй системе в момент времени \(t'_1\) она придёт в точку \(x'_1\), а значит, по второму постулату Эйнштейна:
\(x_1=c\cdot t_1,\; x'_1=c \cdot t'_1\). (\(1\))
В релятивистской теории важное значение имеет коэффициент Лоренца:
\(\boxed{\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(2\))
Преобразования Лоренца для координат и времени могут быть записаны в виде:
\(\boxed{x'=\alpha (x-vt)=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\; y'=y,\; z'=z,\; t'= \frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\). (\(3\))
Заметим, что подстановка формул (\(3\)) в формулы (\(1\)) приведёт к верному числовому равенству.
В пределе, когда \(v \ll c\), из формул (\(3\)) получим преобразования Галилея (это сущность принципа соответствия).
Из преобразований Лоренца следуют следующие закономерности:
- релятивистское сокращение линейных размеров:
\(\boxed{l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\), (\(4\))
где \(l_0\) — продольный размер стержня в покоящейся системе отсчёта,
\(l\) — продольный размер стержня в движущейся со скоростью \(v\) системе отсчёта, относительно покоящейся;
- релятивистское замедление времени: в разных системах отсчёта временной интервал между одними и теми же событиями различен:
\(\boxed{\tau=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\), (\(5\))
где \(\tau_0\) — длительность события в покоящейся системе отсчёта,
\(\tau\) — длительность события в движущейся со скоростью \(v\) системе отсчёта, относительно покоящейся.
Формула (\(5\)) является разрешением парадокса о том, что время жизни движущейся элементарной частицы отличается от времени жизни такой же покоящейся частицы.
Релятивистский закон сложения скоростей отличается от формулы в классической механике. Скорость тела в одной системе отсчёта \(v_1\), вторая система отсчёта движется относительно первой со скоростью \(v\), тогда скорость тела во второй системе отсчёта:
\(\boxed{v_2=\frac{v_1+v}{1+\frac{v_1\cdot v}{c^2}}}\). (\(6\))
Если в формулу (\(6\)) подставить значение \(v_1=c\), то получим, что:
\(v_2=\frac{c+v}{1+\frac{v}{c}}=c\),
то есть скорость света в любой системе отсчёта равна \(c\).