1. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

В системе, состоящей из соединённых конденсатора и катушки (рис. \(1\)) и называемой колебательным контуром, могут происходить свободные электромагнитные колебания.
   

Рис. \(1\). Колебательный контур

Зарядим конденсатор до напряжения \(U_m\). Для этого придётся передать ему энергию:
\(W_C=\frac{CU_m^2}{2}=\frac{q_{m}^2}{2C}.\)  (\(1\))
Далее соединим этот конденсатор с катушкой. Он начнёт разряжаться через катушку, причём из-за явления самоиндукции в катушке сила тока в цепи не сразу достигнет максимального значения.
Если пренебречь сопротивлением катушки и проводов, то полная энергия идеального колебательного контура сохраняется, поэтому можно записать её как сумму энергии конденсатора и катушки:
\(W=\frac{LI^2}{2}+\frac{q^2}{2C}=const\).  (\(2\))
Соответственно, наступит момент, когда конденсатор разрядится полностью (\(q=0\)), но тогда энергия, запасённая в катушке, окажется максимальной:
\(W=W_L=\frac{LI_{m}^2}{2}\).  (\(3\))
Поскольку электрический ток не сможет прекратиться сразу из-за самоиндукции, то катушка начнёт заряжать конденсатор до тех пор, пока ток в ней не исчезнет. Процесс будет повторяться циклически, благодаря чему можно говорить о колебаниях в контуре.

Уравнение для таких колебаний может быть получено из следующего рассуждения. Рассмотрим напряжение между точками \(А\) и \(Б\) (рис. \(1\)). Оно равно, с одной стороны, напряжению на катушке, а с другой стороны — напряжению на конденсаторе:
\(U_{АБ}=U_L=U_C\).  (\(4\))
Теперь, используя формулы ЭДС самоиндукции и выражение для напряжения на конденсаторе, получим:
\(qC=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}=-LI'\).  (\(5\))
Вспомнив, что \(I=q'\), перепишем формулу (\(5\)) в виде:
\(q+LCq''=0\).  (\(6\))
Уравнение (\(6\)) — дифференциальное уравнение, и его решением является функция вида:
\(q=q_{m}\cos(\omega_0 t+\varphi_0)\).  (\(7\))

Формула (\(7\)) показывает, что колебания в контуре являются гармоническими. Циклическая частота колебаний \(\omega_0\), называемая собственной частотой колебательного контура, выражается как:
\(\boxed{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}\).  (\(8\))
Период колебаний может быть выражен формулой Томсона:
\(\boxed{T=2 \pi \sqrt{LC}}\).  (\(9\))
Параметр \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний, определяемая величинами заряда на конденсаторе и тока в катушке в момент времени \(t=0\).
В нашем случае в момент \(t=0\) заряд конденсатора \(q=q_{0}\), поэтому:
\(\cos(\omega_{0} \cdot 0+\varphi_0)=1\,\rightarrow\, \varphi_{0}=0,\)

и уравнение колебаний заряда имеет вид:
\(\boxed{q=q_{m}\cos(\omega_{0}t)}\).  (\(10\)) 

Если умножить обе части уравнений (\(10\)) на \(C\), то будет получено уравнение для колебаний напряжения на конденсаторе:
\(\boxed{U=U_{m}\cos(\omega_{0}t)}\);  (\(11\))

если использовать то, что \(I=q'\), можно получить уравнение колебаний тока в катушке:
\(\boxed{I=-I_{m}sin(\omega_{0}t)}\).  (\(12\))

Вообще, все колебания в зависимости от приложения внешней силы к колеблющейся системе можно поделить на две группы.  

При совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебательного контура амплитуда колебаний резко увеличивается. Это явление называется резонансом.