Теория:
Для написания закона Ома для более сложных цепей, содержащих различные активные и реактивные сопротивления, удобно пользоваться методом векторных диаграмм.
Например, нарисуем векторную диаграмму для цепи с последовательно включёнными резистором, конденсатором и катушкой (рис. \(1\)), источник тока в которой создаёт переменное напряжение с максимальным значением \(U_{0}\).
Например, нарисуем векторную диаграмму для цепи с последовательно включёнными резистором, конденсатором и катушкой (рис. \(1\)), источник тока в которой создаёт переменное напряжение с максимальным значением \(U_{0}\).
Рис. \(1\). Цепь переменного тока
В этом случае ток в цепи будет описываться законом:
\(I=I_{m} \cos(\omega t)\), (\(1\))
а изменение напряжения — законом:
\(U=U_m \cos(\omega t +\varphi_0)\), (\(2\))
где \(\varphi_0\) — сдвиг фаз между током и напряжением.
Мгновенная сила тока \(I\) на всех элементах цепи одинакова, поскольку соединение — последовательное. Отложим вектор, условно изображающий величину силы тока \(I_m\) по горизонтальной оси (рис. \(2\)).
Рис. \(2\). Инфографика к методу векторных диаграмм
Для активного сопротивления \(R\) закон изменения тока во времени имеет вид:
\(I=\frac{U_{m}}{R} \cos(\omega t)\).
Поскольку напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с силой тока, отложим вектор, характеризующий максимальное напряжение на активном сопротивлении \(\vec{U}_R\) длины \(I_m \cdot R\) по горизонтальной оси.
Напряжение на конденсаторе \(U_C\) отстаёт по фазе от тока на \(\frac{\pi}{2}\), а напряжение на катушке \(U_L\) опережает ток по фазе на \(\frac{\pi}{2}\). Это просто запомнить с помощью фразы: «Ток запутался в катушке».
Таким образом, угол между вектором \(I_m\) и вектором \(\vec{U}_L\) c длиной \( I_m \cdot X_L\) составляет \(+\frac{\pi}{2}\), а угол между вектором \(I_m\) и вектором \(\vec{U}_C\) длиной \(I_m \cdot X_L\) составляет \(-\frac{\pi}{2}\) (рис. \(2\)).
Теперь найдём вектор напряжения на всей цепи:
\(\vec{U}_m=\vec{U}_R+\vec{U}_C+\vec{U}_L\)
и нарисуем его на векторной диаграмме (зелёная стрелка на рис. \(2\)). Отношение длины вектора \(U_m\), которую можно найти по теореме Пифагора, к длине вектора \(I_m\) определяет полное сопротивление цепи переменного тока \(Z\):
\(\boxed{Z=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}\). (\(3\))
Сдвиг фаз \(\varphi_0\) определяется как:
\(\boxed{tg (\varphi_0)=\frac{X_L-X_C}{R}}\). (\(4\))
Напряжение на конденсаторе \(U_C\) отстаёт по фазе от тока на \(\frac{\pi}{2}\), а напряжение на катушке \(U_L\) опережает ток по фазе на \(\frac{\pi}{2}\). Это просто запомнить с помощью фразы: «Ток запутался в катушке».
Таким образом, угол между вектором \(I_m\) и вектором \(\vec{U}_L\) c длиной \( I_m \cdot X_L\) составляет \(+\frac{\pi}{2}\), а угол между вектором \(I_m\) и вектором \(\vec{U}_C\) длиной \(I_m \cdot X_L\) составляет \(-\frac{\pi}{2}\) (рис. \(2\)).
Теперь найдём вектор напряжения на всей цепи:
\(\vec{U}_m=\vec{U}_R+\vec{U}_C+\vec{U}_L\)
и нарисуем его на векторной диаграмме (зелёная стрелка на рис. \(2\)). Отношение длины вектора \(U_m\), которую можно найти по теореме Пифагора, к длине вектора \(I_m\) определяет полное сопротивление цепи переменного тока \(Z\):
\(\boxed{Z=\sqrt{R^2+\left(X_L-X_C\right)^2}}\). (\(3\))
Сдвиг фаз \(\varphi_0\) определяется как:
\(\boxed{tg (\varphi_0)=\frac{X_L-X_C}{R}}\). (\(4\))
Средняя мощность, выделяемая на активном сопротивлении \(R\), может быть вычислена по формуле:
\(\boxed{P_R=I_m^2 R \cos (\varphi_0)}\). (\(5\))
Параметр \(\cos(\varphi_0)\) называется коэффициентом мощности. Он показывает, какая часть потребляемой от источника мощности может быть использована полезно (например, для нагревания), а какая часть мощности бесполезно расходуется на создание электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке. На практике стремятся увеличить коэффициент мощности, специальным образом добавляя в цепи реактивные компенсаторы — дополнительные конденсаторы и катушки индуктивности.
В ситуации, когда \(X_L=X_C\), наступает явление резонанса и вся мощность выделяется на активном сопротивлении.
\(\boxed{P_R=I_m^2 R \cos (\varphi_0)}\). (\(5\))
Параметр \(\cos(\varphi_0)\) называется коэффициентом мощности. Он показывает, какая часть потребляемой от источника мощности может быть использована полезно (например, для нагревания), а какая часть мощности бесполезно расходуется на создание электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке. На практике стремятся увеличить коэффициент мощности, специальным образом добавляя в цепи реактивные компенсаторы — дополнительные конденсаторы и катушки индуктивности.
В ситуации, когда \(X_L=X_C\), наступает явление резонанса и вся мощность выделяется на активном сопротивлении.
Источники:
Рис. 1. Цепь переменного тока. © ЯКласс.
Рис. 2. Инфографика к методу векторных диаграмм. © ЯКласс.