Теория:
Задача статистической механики
Исследование броуновского движения позволило учёным впервые рассчитать количество молекул в макроскопическом объёме (\(N_A = 6 · 10^{23} \ моль^{-1}\)).
Обрати внимание!
Дж. Максвелл вывел закон распределения молекул газа по скоростям \(F(v)\), график которого представлен на рисунке \(1\). Функция \(F(v) = \frac{\Delta N}{N\Delta v}\) показывает относительное число молекул газа \(\frac{\Delta N}{N}\), скорости которых лежат в интервале от \(v\) до \(v + \Delta v\) (\(N\) — число частиц в газе). Согласно данному закону средняя квадратичная скорость \(\bar{v}_{кв}\) молекул газа в состоянии термодинамического равновесия (\(T = const\)) является постоянной величиной, значение которой вычисляется по формуле: \(\boxed{\bar{v}_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}}\), (\(1\))
где \(m_0\) — масса молекулы газа, \(k = \frac{R}{N_A} = 1,38 · 10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана.
Экспериментальное доказательство данного распределения было получено О. Штерном.
Математическое примечание:
1) \(\bar{v}_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}}\), где \(\overline{v^2}\) — среднее значение квадрата скорости всех молекул газа, т. е.
\(\overline{v^2} = \frac{1}{N}(v_1^2 + v_2^2 + … + v_N^2);\)
2) \(\boxed{v_{в} = \sqrt{\frac{2kT}{m_0}}}\), (\(2\))
где \(v_{в}\) — наиболее вероятная скорость молекул газа, при которой функция \(F(v)\) максимальна (рис. \(1\));
3) \(\boxed{\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}}\), (\(3\))
где \(\bar{v}\) — средняя (арифметическая) скорость молекул газа (рис. \(1\)).
Рис. \(1\). График функции распределения \(F(v)\) молекул по скоростям
Таким образом, экспериментальная база в исследованиях тепловых явлений стала основанием для построения теории статистической механики, которая определяет закономерности между макропараметрами (температура \(T\), давление \(p\), объём \(V\)) и микропараметрами термодинамической системы (массы частиц \(m_0\) и др.).
Основное уравнение МКТ
| Физический смысл уравнения | Устанавливает взаимосвязь между макроскопическим параметром идеального газа (давлением \(p\)) и средним значением микроскопического параметра (средним значением квадрата скорости всех молекул \(\overline{v^2}\)): \(\boxed{p = \frac{1}{3}nm_0\overline{v^2} = \frac{2}{3}n · \frac{m_0\overline{v^2}}{2} = \frac{2}{3}n\overline{E}_{к}}\), (\(4\)) где \(n = \frac{N}{V}\) — концентрация молекул газа (\([n] = м^{-3}\)) |
| Уравнение состояния идеального газа | \(pV = \nu RT = \frac{N}{N_A}RT\), \(p = \frac{N}{V} · \frac{R}{N_A} · T\), \(\boxed{p = nkT}\) (\(5\)) |
| Энергетический смысл температуры | Связь температуры газа со средней кинетической энергией поступательного теплового движения его частиц: \(\boxed{\overline{E}_{к_{пост.}} = \frac{m_0\overline{v^2}}{2} = \frac{3}{2}kT}\). (\(6\)) Обрати внимание! Температура \(T\) характеризует среднее значение кинетической энергии \(\overline{E}_{к}\) хаотического теплового движения молекул в состоянии термодинамического равновесия |
Источники:
Рис. 1. График функции распределения F(v) молекул по скоростям. © ЯКласс.