Зависимость скорости от времени — урок. Физика, 10 класс.

Скорость

Рассмотрим движение тела из точки $A$ в точку $B$ (рис. $1$). Траектория $AB$ является криволинейной.

Введём понятие «средняя скорость».

На рисунке $1$ показаны вектора перемещений тела $\Delta{\vec{r_3}}$, $\Delta{\vec{r_2}}$ и $\Delta{\vec{r_1}}$ за различные сокращающиеся промежутки времени $\Delta{t_3}$, $\Delta{t_2}$ и $\Delta{t_1}$.

Рис. $1$. Перемещения тела при криволинейном движении

Средняя скорость равна отношению перемещения за конечный промежуток времени:

\vec{υ_{ср}} = \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}

Средняя скорость является векторной величиной:

направление средней скорости $\vec{υ_{ср}} ↑ ↑ Δ \vec{r}$ находится согласно математической формуле определения данной физической величины (сравни математическое выражение $\vec{a}$ $=$ $\frac{\vec{b}}{2}$ и формулу средней скорости);
числовое значение средней скорости (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
физические понятия отличаются от математических понятий наличием единиц измерения ([$v_{ср}$] $=$ [$\frac{м}{с}$]).

Участки траектории $AB$, $AD$ и $AE$ (рис. $1$) характеризуются, соответственно, средними скоростями:

$\vec{v_{ср3}}$, $\vec{v_{ср2}}$, $\vec{v_{ср1}}$.

$AB$	$AD$	$AE$
$\vec{v_{ср3}}$ = $\frac{\Delta{\vec{r_3}}}{\Delta{t_3}}$	$\vec{v_{ср2}}$ = $\frac{\Delta{\vec{r_2}}}{\Delta{t_2}}$	$\vec{v_{ср1}}$ = $\frac{\Delta{\vec{r_1}}}{\Delta{t_1}}$

Если уменьшать неограниченно промежуток времени $\Delta{t}$, то быстрота движения тела характеризуется понятием «мгновенная скорость» (или «скорость»).

Математическая запись уменьшения промежутка времени:

Δ t \to 0

(в математике существует понятие «предел», символ данного понятия — «lim»).

Физический смысл принципа уменьшения промежутка времени: на определённом этапе данной процедуры значения средней скорости будут приблизительно одинаковыми и определение физического понятия «средняя скорость» изменится на физическое понятие «мгновенная скорость»

\vec{υ} = \lim_{Δ t \to 0} \vec{υ_{ср}} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ \vec{r}}{Δ t}

Мгновенная скорость является векторной величиной:

вектор мгновенной скорости (далее — скорости) направлен по касательной к траектории в исследуемой точке (проверь, как на рисунке $1$ «хорды — перемещения $\Delta{\vec{r_3}}$, $\Delta{\vec{r_2}}$ и $\Delta{\vec{r_1}}$» при уменьшении промежутков времени $\Delta{t_3}$, $\Delta{t_2}$ и $\Delta{t_1}$ изображаются касательными, которые соответствуют векторам скоростей $\vec{v_3}$, $\vec{v_2}$, $\vec{v_1}$).

Ускорение

На рисунке $1$ тело движется из точки $E$ в точку $D$, изменяя скорость от $v_2$ до $v_3$. Параллельным переносом перенесём вектор $\vec{v_{3}}$ к $\vec{v_{2}}$, тогда изменение скорости за промежуток времени $\Delta{t}$ равно разности векторов

$(\vec{v_{3}}$$-$$\vec{v_{2}})$, что на рисунке $1$ соответствует вектору ускорения $\vec{a_{2}}$.

Среднее ускорение равно отношению изменения скорости к промежутку времени:

\vec{a_{ср}} = \frac{Δ \vec{υ}}{Δ t}

Примечание:

1) в физических задачах при написании символа

\vec{a_{ср}}

индекс «ср», как правило, не прописывается;

2) в ситуации прямолинейного неравномерного движения используется термин «ускорение».

Характеристики физического понятия «среднее ускорение»:

направление вектора среднего ускорения определяется согласно правилу $\vec{a_{ср}} ↑ ↑ Δ \vec{υ}$ ;
числовое значение ускорения (модуль, проекции на координатные оси) определяется согласно геометрическим правилам работы с векторами;
единица измерения ([$a_{ср}$] $=$ [$\frac{м}{с^2}$]).

Участки траектории $AB$, $AD$ и $AE$ (рис. $1$) характеризуются, соответственно, средними ускорениями $\vec{a_{3}}$, $\vec{a_{2}}$, $\vec{a_{1}}$.

$AB$	$AD$	$AE$
$\vec{a_{3}}$ $=$ $\frac{\Delta{\vec{v_3}}}{\Delta{t_3}}$	$\vec{a_{2}}$ $=$ $\frac{\Delta{\vec{v_2}}}{\Delta{t_2}}$	$\vec{a_{1}}$ $=$ $\frac{\Delta{\vec{v_1}}}{\Delta{t_1}}$

Если уменьшать неограниченно промежуток времени $\Delta{t}$, то изменение скорости движения тела в конкретный момент времени характеризуется физическим понятием «мгновенное ускорение».

\vec{a} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ \vec{υ}}{Δ t}

Вектор мгновенного ускорения при движении тела по криволинейной траектории представляет векторную сумму компонентов данного вектора, которые направлены по касательной и нормали (перпендикуляр к касательной).

Векторное и скалярное уравнения скорости материальной точки

1) Общий вид:

векторное уравнение — $\vec{v}$ $=$ $\vec{v}(t)$;
числовые (скалярные) уравнения — $v_x$ $=$ $v_x(t)$, $v_y$ $=$ $v_y(t)$, $v_z$ $=$ $v_z(t)$.

2) Прямолинейное равноускоренное движение:

векторное уравнение — $\vec{v}(t)$ $=$ $\vec{v}{_0}$ $+$ $\vec{a}(t - t_0)$,

где $\vec{v}{_0}$ — скорость тела в начальный момент времени ${t_0}$, $\vec{v}(t)$ — скорость тела в произвольный момент

времени $t$;

числовые (скалярные) уравнения — $v_x(t)$ $=$ $v_{0x}$ $+$ $a_x(t - t_0)$, $v_y(t)$ $=$ $v_{0y}$ $+$ $a_y(t - t_0)$,

$v_z(t)$ $=$ $v_{0z}$ $+$ $a_z(t - t_0)$.

Графическое изображение зависимости проекции скорости от времени ${v_х}(t)$

При движении тела с постоянным ускорением проекция скорости изменяется по линейному закону в зависимости от времени $t$: $v_x(t)$ $=$ $v_{0x}$ $+$ $a_x(t - t_0)$ (рис. $2$).

Рис. $2$. График зависимости проекции скорости от времени

Значение проекции ускорения по графику определяется как тангенс угла: $a_x$ $=$ $tgα$ $=$ $\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$.

Перемещение

Проекции перемещений при равнопеременном движении в момент времени $t$ определяются формулами:

$s_x(t)=x(t) - x_0$, $s_y(t)=y(t) -y_0$, $s_z(t)=z(t) - z_0$.

$A$

$B$

Рис. $3$. Определение модуля и проекций перемещения по графику зависимости проекции скорости от времени

Модуль и проекции перемещения тела определяются графическим способом с

использованием графика зависимости $v_x(t)$.

Рисунок $3$ $A$ ($v_0$ $=$ $0$)	Рисунок $3$ $B$ ($v_0$ $≠$ $0$)
Модуль перемещения определяется как площадь прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $c$ и $b$, где $b$ $=$ $t$, $c$ $=$ $at$. $S = \frac{1}{2} bc \Rightarrow S = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$	Модуль перемещения определяется как площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $d$ $=$ $v_0$, $b$ $=$ $v_0+at$ и высотой $h$ $=$ $t$. $S = \frac{1}{2} (b + d) h \Rightarrow S = υ_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$
Проекция перемещения: $s_x$ $=$ $S$	Проекция перемещения: $s_x$ $=$ $S$

Примечание: если график проекции скорости состоит из участков, где площадь трапеции имеет отрицательное значение (например, $s_{x1}$ $>$ $0$, $s_{x2}$ $<$ $0$), то модуль перемещения тела равен:

s = s_{x1} + |s_{x2}|

Источники:

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

\(AB\)	\(AD\)	\(AE\)
\(\vec{v_{ср3}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_3}}}{\Delta{t_3}}\)	\(\vec{v_{ср2}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_2}}}{\Delta{t_2}}\)	\(\vec{v_{ср1}}\) = \(\frac{\Delta{\vec{r_1}}}{\Delta{t_1}}\)

\(AB\)	\(AD\)	\(AE\)
\(\vec{a_{3}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_3}}}{\Delta{t_3}}\)	\(\vec{a_{2}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_2}}}{\Delta{t_2}}\)	\(\vec{a_{1}}\) \(=\) \(\frac{\Delta{\vec{v_1}}}{\Delta{t_1}}\)

Рисунок \(3\) \(A\) (\(v_0\) \(=\) \(0\))	Рисунок \(3\) \(B\) (\(v_0\) \(≠\) \(0\))
Модуль перемещения определяется как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(c\) и \(b\), где \(b\) \(=\) \(t\), \(c\) \(=\) \(at\). $S = \frac{1}{2} bc \Rightarrow S = \frac{a \cdot t^{2}}{2}$	Модуль перемещения определяется как площадь трапеции \(ABCD\) с основаниями \(d\) \(=\) \(v_0\), \(b\) \(=\) \(v_0+at\) и высотой \(h\) \(=\) \(t\). $S = \frac{1}{2} (b + d) h \Rightarrow S = υ_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$
Проекция перемещения: \(s_x\) \(=\) \(S\)	Проекция перемещения: \(s_x\) \(=\) \(S\)

1. Зависимость скорости от времени

Теория: