Теория:
Найди разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\) батареи конденсаторов известной ёмкости, подключённой к источнику постоянного тока с напряжением \(U\) (рис. \(1\)).
Рис. \(1\). Физическая ситуация задачи
1. Физическая модель задачи:
- конденсаторы \(C_1\) и \(C_2\) соединены последовательно \(\Rightarrow\) заряд на каждом их них равен \(Q_{1}\);
- конденсаторы \(C_3\) и \(C_4\) соединены последовательно \(\Rightarrow\) заряд на каждом их них равен \(Q_{2}\);
- левые обкладки конденсаторов \(C_{1}\) и \(C_{3}\) соединены с положительной клеммой источника тока \(\Rightarrow\) их заряд положительный;
- правые обкладки конденсаторов \(C_{2}\) и \(C_{4}\) соединены с отрицательной клеммой источника тока \(\Rightarrow\) их заряд отрицательный;
- введём дополнительные обозначения узлов \(a\) и \(b\) (рис. \(2\)).
Рис. \(2\). Физическая модель задачи
2. Физические законы:
- разность потенциалов \(\varphi_a\) и \(\varphi_b\):
\(\varphi_a - \varphi_b=U\); (\(1\))
- ёмкость конденсатора \(C_{1}\):
\(C_{1}=\frac{Q_{1}}{\varphi_a-\varphi_A}\); (\(2\))
- ёмкость конденсатора \(C_{2}\):
\(C_{2}=\frac{Q_{1}}{\varphi_A-\varphi_b}\); (\(3\))
- ёмкость конденсатора \(C_{3}\):
\(C_{3}=\frac{Q_{2}}{\varphi_a-\varphi_B}\); (\(4\))
- ёмкость конденсатора \(C_{4}\):
\(C_{4}=\frac{Q_{2}}{\varphi_B-\varphi_b}\). (\(5\))
3. Математическое решение задачи:
- выражаем разности потенциалов из формул (\(2\))–(\(5\)):
\(\varphi_a-\varphi_A=\frac{Q_1}{C_1}\); (\(6\))
\(\varphi_A-\varphi_b=\frac{Q_1}{C_2}\); (\(7\))
\(\varphi_a-\varphi_B=\frac{Q_2}{C_3}\); (\(8\))
\(\varphi_B-\varphi_b=\frac{Q_2}{C_4}\); (\(9\))
- складываем левые и правые части уравнений (\(6\)) и (\(7\)) с учётом формулы (\(1\)):
\(U=\frac{Q_{1}}{C_1}+\frac{Q_1}{C_{2}}\); (\(10\))
- складываем левые и правые части уравнений (\(8\)) и (\(9\)) с учётом формулы (\(1\)):
\(U=\frac{Q_{2}}{C_3}+\frac{Q_2}{C_{4}}\); (\(11\))
- выражаем заряды \(Q_1\) и \(Q_2\) из формул (\(10\)) и (\(11\)) соответственно:
\(Q_{1}=\frac{C_1 C_2}{(C_1+C_2)}U\); (\(12\))
\(Q_{2}=\frac{C_3 C_4}{(C_3+C_4)}U\); (\(13\))
- подставляем формулы (\(12\)) и (\(13\)) в (\(6\)) и (\(8\)) соответственно (или в (\(7\)) и (\(9\)):
\(\varphi_a-\varphi_A=\frac{C_2 U}{C_1+C_2}\); (\(14\))
\(\varphi_a-\varphi_B=\frac{C_4 U}{C_3+C_4}\); (\(15\))
- вычитаем левые и правые части формул (\(15\)) и (\(14\)) друг из друга и находим искомую разность потенциалов:
\(\varphi_A-\varphi_B=\left(\frac{C_4}{C_3+C_4}-\frac{C_2}{C_1+C_2}\right) U;\) (\(16\))
- проверяем размерность формулы (\(16\)):
\(\varphi_A-\varphi_B=\left( \frac{Ф}{Ф}-\frac{Ф}{Ф}\right)В=В\).
Источники:
Рис. 1. Физическая ситуация задачи. © ЯКласс.
Рис. 2. Физическая модель задачи. © ЯКласс.