4. Метод интервалов

Метод интервалов — универсальный метод, которым решаются практически все неравенства видов

 

Если в твоём неравенстве справа не нуль, то перенеси правую часть в левую (не забудь поменять знак).

Левая часть неравенства представляет собой некоторую функцию, методом интервалов мы определяем знак этой функции.

 

 

Рис. \(1\). График функции

Что означает в графическом понимании $f(x)>0$? Это положительные значения функции — все точки графика, у которых положительные значения \(y\), т. е. части графика, расположенные выше оси \(Ox\). Эти промежутки заштрихованы синим цветом на рисунке.

 

 

Рис. \(2\). Промежутки знакопостоянства

 

Соответственно, для $f(x)<0$ — это отрицательные значения функции, все точки графика, у которых отрицательные значения \(y\), т. е. части графика, расположенные ниже оси \(Ox\). Эти промежутки заштрихованы красным цветом на рисунке.

Обратим внимание на точки $x_1,x_2,x_3,x_4$. Это точки, в которых функция пересекает или касается оси \(Ox\). Значения функции в этих точках равно нулю. Эти точки можно найти, решив уравнение $f(x)=0$.

Давай посмотрим, чем отличается поведение функции в точках $x_1,x_2,x_4$ и точке $x_3$.

В точках $x_1,x_2,x_4$ знак неравенства меняется, а в точке $x_3$ смена знака не происходит.

 

Например, парабола с равным нулю дискриминантом ${\left(x-x_3\right)}^2=\left(x-x_3\right)\left(x-x_3\right)$

ведёт себя так же, как наша функция в точке $x_3$. Это точка двойной кратности, так как в ней знак меняется дважды — и в первой, и во второй скобке.

Существует соблазн: упростить левую часть, сократив на \((x-3)\). Но это преобразование не равносильное, так как приведёт к неравенству с другим ОДЗ. (Точка \(x=3\) не входила в ОДЗ первого неравенства, но входит в ОДЗ нового.)

 

Найдём нули функции и точки, в которых знаменатель равен нулю:

 

 

Отметим на числовой прямой эти точки, учитывая ОДЗ и выделяя точки двойной кратности. В самом правом промежутке знак определяем, подставив какое-то большое значение, например \(100\). В других промежутках знаки определяем, учитывая чередование: при переходе через точку одной кратности — меняем, через точку двойной кратности — не меняем.

 

 

Рис. \(3\). Числовая прямая, решение неравенства

 

Так как знак неравенства \(«\)$\ge$\(»\), в ответ попадут промежутки: $\left(-\mathrm{\infty };3\right)\cup (3;\left.7\right]$.